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疊加定理和齊次定理

作者:佚名    文章來源:本站原創(chuàng)    點擊數(shù):    更新時間:2018/9/24
第 1 節(jié) 疊加定理和齊次定理

一、疊加定理

圖 4.1-1 ( a )所示電路中,有兩個激勵,即獨(dú)立電壓源 和獨(dú)立電流源 ,現(xiàn)欲求 R1 支路上的電流

 

用網(wǎng)孔電流法求解。設(shè)網(wǎng)孔電流分別為 ,其方向都為順時針方向,如圖 4.1-1 ( a )所示。網(wǎng)孔方程為

解方程得,網(wǎng)孔電流為

所以, R1 支路電流為

其中, 可以看成是當(dāng) 時的 的值, 則可看成是當(dāng) 時的 的值。如圖 4.1-1 ( b )、( c )。

其中, k1 , k2 是由電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)決定的。對于線性電路, R1 、 R2 、 R3 都是常數(shù),不會隨著電路中激勵的數(shù)目和大小的改變而改變,所以 k1 , k2 也不會隨激勵的改變而改變,即為常數(shù)。 i 是激勵的一次線性函數(shù)。

疊加定理

( superposition theorem )

由線性元件組成的線性電路,當(dāng) n 個激勵共同作用時,在某條支路上產(chǎn)生的響應(yīng),等于各個激勵單獨(dú)作用時產(chǎn)生的響應(yīng)的代數(shù)和。

其中, 表示 n 個激勵(獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源), r 表示某條支路上產(chǎn)生的響應(yīng)(電壓或電流)。 都是常數(shù),其大小由電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)決定。

應(yīng)用疊加定理時應(yīng)注意的問題

1 .疊加定理是線性電路的一個重要性質(zhì),因此只適用于線性電路,對于非線性電路則不能使用。

2 .當(dāng)某個激勵單獨(dú)作用時,其他激勵均取 0 。將獨(dú)立電壓源取 0 ,是把電壓源短路,將獨(dú)立電流源取 0 是把電流源開路。

3 .受控源雖然帶有電源的性質(zhì),但不直接起激勵作用,因此,在疊加定理中,受控源一般不單獨(dú)作用,而是把受控源當(dāng)電路元件處理。當(dāng)獨(dú)立源單獨(dú)作用時,受控源應(yīng)保留在電路中。

4 .疊加定理只適用于計算電壓或電流,而不適用于計算功率,因為功率與電壓、電流之間的關(guān)系不是線性關(guān)系。

例 4.1-1 圖 4.1-2 ( a )所示電路,試用疊加定理求 3 Ω電阻上的電壓 U 及功率。

解:電路中有兩個獨(dú)立源共同激勵。

1 、當(dāng) 12V 電壓源單獨(dú)激勵時,電流源應(yīng)視為 0 ,即把電流源開路,如圖 4.1-2 ( b )所示。

由分壓公式,得

 

2 、當(dāng) 3A 電流源單獨(dú)激勵時,電壓源應(yīng)視為 0 ,即把電壓源短路,如圖 4.1-2 ( c )所示。對圖 4.1-2 ( c )電路作變換,得圖 4.1-2 ( d )所示電路。

 

3 、當(dāng)電壓源和電流源共同作用時,由疊加定理得 3 Ω電阻上的電壓

3 Ω電阻上的功率為

注 意

計算功率時,不能用疊加定理。

例 4.1-2 用疊加定理計算圖 4.1-3 ( a )所示電路中受控源兩端電壓及功率。

 

解:當(dāng) 4V 電壓源單獨(dú)作用時,電流源視為開路,其電路如圖 4.1-3 ( b )所示,對圖中所示的回路,利用 KVL ,得

所以,

當(dāng) 2A 電流源單獨(dú)作用時,電壓源視為短路,其電路如圖 4.1-3 ( c )所示,對圖中所示的回路,利用 KVL ,得

所以,

因此,當(dāng)電壓源和電流源共同作用時,利用疊加定理得

受控源兩端電壓為

受控源的功率為

二、齊次定理

齊次定理

( homogeneity theorem )

當(dāng)線性電路中只有一個獨(dú)立源作用時,電路的響應(yīng)與激勵成正比。

推 論:對于線性電路,若所有激勵同時擴(kuò)大(或縮小) K 倍,則電路中任一支路的響應(yīng)也擴(kuò)大(或縮小) K 倍。

例 4.1-3 圖 4.1-4 所示的梯形電路中, Us=6V ,試用齊次定理計算支路電流 I5 。

 

解:這個電路是由電阻的串、并聯(lián)組成,可以用等效電路的分析方法進(jìn)行計算,但是用齊次定理計算會更方便。先設(shè) I5 支路電流為 ,則

所以,

根據(jù)齊次定理,激勵 與響應(yīng) 成正比,即

因此,


注 意

應(yīng)用疊加定理和齊次定理時,當(dāng)激勵的參考方向反向時,相當(dāng)于激勵變?yōu)樵瓉淼模?1 倍。

 

例 4.1-4 圖 4.1-5 所示電路中, N 是不含獨(dú)立源的線性網(wǎng)絡(luò),有 3 個獨(dú)立源共同激勵, a 、 b 兩端的電壓 為 10V 。當(dāng)電壓源 和電流源 反向而 不變時, 變?yōu)?5V ;當(dāng)電壓源 和電流源 反向而 不變時, 變?yōu)?3V 。試問:只有電流源 反向而電壓源 不變時, 變?yōu)槎嗌伲?/P>

解:由于是線性電路,所以可用疊加定理。 3 個獨(dú)立源共同激勵,電路的響應(yīng)

( 1 )

式中, 為常數(shù),由電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)決定。

當(dāng)電壓源 和電流源 反向而 不變時,電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)不變, 的大小不變,而 都要乘以系數(shù)- 1 ,這時的 a 、 b 兩端的電壓為

( 2 )

又當(dāng)電壓源 和電流源 反向而 不變時, 乘以系數(shù)- 1 , a 、 b 兩端的電壓為

( 3 )

(2) + (3) ,得

( 4 )

所以,當(dāng)只有電流源 反向而電壓源 不變時, a 、 b 兩端的電壓為

Tags:疊加定理,齊次定理  
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