1、緒論

這篇文章是機械臂專欄的第一期，該文章旨在對機械臂基礎(chǔ)知識進行簡要的概述，為之后機械臂的運動學(xué)和動力學(xué)仿真做好鋪墊。該篇文章只進行整體的知識架構(gòu)梳理和具體知識的簡要介紹，并不會過多深入，其中內(nèi)容主要來源與John J. Craig 的著名著作《機器人學(xué)導(dǎo)論》，請需要學(xué)習(xí)機械臂的同學(xué)無比熟讀該書。

首先介紹一下我將要介紹的主要知識點，空間描述與轉(zhuǎn)換、機械臂運動學(xué)、機械臂速度與靜力。

為什么要學(xué)習(xí)空間描述與轉(zhuǎn)換呢，我們可以看下圖，機械臂是若干個桿連接而形成的（連接兩個桿的地方是關(guān)節(jié)），而在機械臂中這些桿稱為連桿，每個連桿可以在夫連桿（上一連桿）的基礎(chǔ)上繞某一軸旋轉(zhuǎn)，（關(guān)節(jié)通過電機旋轉(zhuǎn)帶動連桿旋轉(zhuǎn)），而這個軸只與夫連桿相對禁止，這就導(dǎo)致一旦多個連桿都進行運動時，連桿只能與“上一級連桿”和“下一級連桿”進行直接的空間轉(zhuǎn)換關(guān)系，也就是說當(dāng)我知道第一個連桿旋轉(zhuǎn)的角度時，我就能根據(jù)底座的空間坐標(biāo)推算出第一個連桿的具體位置，然后一級一級往后推就能獲得最末端機械臂的位置，也就是接卸比末端位置。而空間描述和轉(zhuǎn)換就是學(xué)習(xí)如何一級一級計算空間坐標(biāo)，也就是學(xué)習(xí)從固定的底座開始，空間時如何通過連桿旋轉(zhuǎn)一步一步轉(zhuǎn)換的。

機械臂運動學(xué)就很好理解了，面對機械臂，我們肯定是研究如何使得機械臂按照我們意愿去運動，如何控制機械臂末端的位置。比如用機械臂拿杯子，肯先要控制末端到達杯子位置，所以這里就設(shè)計到運動學(xué)知識，分為正運動學(xué)和逆運動學(xué)，正運動學(xué)就是已知每個關(guān)節(jié)電機的旋轉(zhuǎn)角度，推算出末端工具的空間位姿（這里的位姿其實就是空間位置加上空間朝向）。逆運動學(xué)就是已知我末端空間位置，推算出各個關(guān)節(jié)的角度，這就類似于拿杯子，我知道杯子位置，需要推算出末端工具到達該位置需要每個關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)多大角度。

機械臂速度與靜力，就涉及到動力學(xué)知識，首先學(xué)習(xí)機械臂速度，是為了描述每個連桿線速度和角速度是如何傳遞的，其中比較主要的知識點就是雅可比矩陣，該矩陣描述了每個關(guān)節(jié)速度與末端的位姿速度。而機械臂靜力就涉及到機械臂動力學(xué)知識，主要講的是機械臂在某個姿態(tài)各關(guān)節(jié)以速度、加速度運動時，關(guān)節(jié)電機需要輸出的力矩，如果末端對外界施加力，這里還需要加入施加力反作用在各個關(guān)節(jié)的力矩。

2、空間位置、姿態(tài)與位姿的描述

2.1，位置表示

當(dāng)我們對機械臂建立坐標(biāo)系時，往往將底座作為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，圖中坐標(biāo)系A(chǔ)便是基準(zhǔn)坐標(biāo)系，就能用一個3\times1的位置矢量給出坐標(biāo)系中的任何點定位。還要注意矢量定義在哪一個坐標(biāo)系。^AP是指相對坐標(biāo)系A(chǔ)的一個點的位置。

世界坐標(biāo)系中的任何點都可以用一個3×1的位置矢量進行定位，例如：

2.2、位姿表示

不僅需要表示空間中的點的位位置，還需要描述物體的姿態(tài)，也就是該點出物體的方向。上圖確定了操作臂末端位置，若姿態(tài)也確定，末端的位姿就能完全被確定下來。為了描述物體的姿態(tài)，我們在物體上固定一個坐標(biāo)系并且給出此坐標(biāo)系相對于參考坐標(biāo)系的描述。如下圖的參考系B即為固定在物體上的。

用XB,YB,ZB來表示坐標(biāo)系{B}各主軸方向的單位矢量，當(dāng)用坐標(biāo)系{A}來表示時，它們被寫成AXB,AYB,AZB，將三個單位矢量按AXB,AYB,AZB順序排列組成一個3×3的矩陣，稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣，用符號ABR來表示。

 

有了位姿的描述，我們就能知道一個連桿末端也就是關(guān)節(jié)相對于上一關(guān)節(jié)的位姿，依次描述最后就能獲得末端位姿。如圖所示，紅色表示連桿，白色表示關(guān)節(jié)處，每個關(guān)節(jié)處就代表一個坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)系的遞推計算，就能算出末端坐標(biāo)系相對基準(zhǔn)坐標(biāo)系的位姿。

接下來就時如何計算坐標(biāo)系的位姿。

2.3 坐標(biāo)系平移

可以從圖中看出，B坐標(biāo)系就是相對A坐標(biāo)系進行平移

 

此時，我們用矢量相加的辦法求點P相對于A的表示^AP：

2.4 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)

 

若我們已知矢量相對于B的定義^BP，現(xiàn)在想求矢量相對于A的定義，且兩個坐標(biāo)系原點重合，我們已知^A_BR，那么我們是可以求解的。

該式可簡化為旋轉(zhuǎn)矩陣形式表示：

 

有了矩坐標(biāo)系的偏移和旋轉(zhuǎn)，我們就可以根據(jù)基準(zhǔn)坐標(biāo)系推算出連接連桿的坐標(biāo)系。

 

如圖所示為兩個坐標(biāo)系有相對的偏移和旋轉(zhuǎn)，于是就有：

 

而這樣表示兩個坐標(biāo)系的關(guān)系就顯得很麻煩，于是通過定義轉(zhuǎn)換算子來方便描述：

于是我們就可以通過轉(zhuǎn)換算子來描述兩個坐標(biāo)系的關(guān)系，同樣轉(zhuǎn)換算子是可以疊加的，通過不斷的疊加就可以算出末端與基準(zhǔn)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換算子，也就是得到末端相對于基準(zhǔn)坐標(biāo)系的位姿。

3 、機械臂運動學(xué)

3.1、連桿表示

首先學(xué)習(xí)機械臂運動學(xué)，就需要了解機械臂的結(jié)構(gòu)，連桿與連桿之間的坐標(biāo)系是如何變換的，是如何平移，如何旋轉(zhuǎn)，使得某一連桿坐標(biāo)系按照這個平移旋轉(zhuǎn)之后能夠獲得下一個連桿的坐標(biāo)系，也即是兩個連桿之間的坐標(biāo)系算子與連桿結(jié)構(gòu)的關(guān)系，更直白的意思就是，如果知道某一關(guān)節(jié)的角度，就能找到關(guān)節(jié)連接的兩個連桿坐標(biāo)系對于的變換算子T。

常見的操作臂的結(jié)構(gòu)一般優(yōu)先選擇只有一個自由度的關(guān)節(jié)作為連桿的連接方式，大部分的操作臂中會包括轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)和移動關(guān)節(jié)。只有很少見的情況，會使用具有n個自由度的關(guān)節(jié)，這種關(guān)節(jié)也可以抽象的看做用n個單自由度的關(guān)節(jié)與n-1個長度的連桿組合而成的。

我們在討論操作臂時，會從固定基座開始為連桿編號，我們習(xí)慣性地成固定基座為連桿0，接下來的第一個能動的連桿被稱為連桿1，以此類推，最末端的的連桿就稱為連桿n

 

上圖就是一種連桿描述方式，用四個參數(shù)描述兩個連桿的相對位姿關(guān)系：

 

也就是如上分析，知道兩個連桿的具體相對位姿關(guān)系后，就能推算出兩個連桿坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換算子T：

 

這樣，只要我知道每個連桿相對關(guān)系，就能推算出機械臂末端相對基準(zhǔn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換算子，也就是能夠得到末端相對基準(zhǔn)坐標(biāo)系的位置和狀態(tài)。

3.2、運動學(xué)原理

在這個連桿關(guān)系中，有一個參數(shù)θ，他是動態(tài)變化的，就是其他三個參數(shù)是不會變化，而該參數(shù)θ就是關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，所以我們就能根據(jù)每個關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度推算出機械臂末端相對基準(zhǔn)坐標(biāo)系的變換算子，從而得到機械臂末端的位姿，這就是正運動學(xué)。

當(dāng)我們知道末端位姿時，希望機械臂能達到該位置，就首先推算處該變換算子關(guān)于θ的公式：

 

然后有已知的基準(zhǔn)坐標(biāo)系位姿和末端位姿進行矩陣運算的具體參數(shù) T，然后進行方程求解，但是逆運動學(xué)的求解難度會隨著機械臂關(guān)節(jié)數(shù)量的變換成幾何倍增。

大概的運動學(xué)知識點就講解到這里，有關(guān)動力學(xué)知識會在之后動力學(xué)仿真部分講解，而接下來將會發(fā)布運動學(xué)的各種仿真方法。