目錄

一、什么是連續(xù)性方程

二、流體能量守恒定律 

1、流體的動能 

2、流體勢能 

3、流體壓力能 

4、流體的熱能

三、什么是伯努利定理

四、水頭
五、伯努利定理的兩個應用 

1、用文丘里管測量流速 

2、用皮托管測量流速

一、什么是連續(xù)性方程

連續(xù)方程就是質(zhì)量守恒定律。質(zhì)量守恒定律認為，流經(jīng)管道的流體在任意截面處質(zhì)量流量恒定。它被稱為連續(xù)性方程，因為它在流體連續(xù)流動時成立。若流體的密度為ρ（kg/m ³），流速為u（m/s），截面積為A（m），則連續(xù)性方程如下。

ρuA =（常數(shù)）

質(zhì)量流量的單位是（kg/s），即單位時間內(nèi)通過的流體質(zhì)量。

順便說一句，由于像水這樣的液體的體積幾乎不隨溫度或壓力而變化，因此體積守恒定律也適用。體積守恒定律不適用于氣體，因為體積會根據(jù)壓力發(fā)生很大變化。

二、流體能量守恒定律

伯努利定理是流體中的能量守恒定律，流體總計以下四種能量的總和保持不變：

①動能+②勢能+③壓力能+④熱能=（常數(shù)）

我們知道質(zhì)量為 m (kg) 的球以速度 v (m/s) 飛行時的動能為mv ² /2。若流體的密度為ρ(kg/m ³ )，則單位體積的質(zhì)量為ρ×1(kg)。因此，單位體積流體的動能表示為：

①流體動能=ρu ² / 2

如果重力加速度為g(m/s ² )，則高度為h(m)、質(zhì)量為m(kg)的物體的勢能表示為mgh ，則每單位體積的流體的勢能如下：

②流體勢能=ρgh

流體始終處于壓力之下，這種力的作用提供了移動流體的能量。壓力能越高，流量越大，壓力能越低，流量越低。舉一個具體的例子，水管使用調(diào)節(jié)器來改變供水壓力來調(diào)節(jié)水流。如果供水壓力增加，流出的水量就會增加；如果供水壓力減少，水流量就會變小。壓力為 p(Pa) 的流體的壓力能就是 p。

③流體的壓能=p

流體在流動時會改變其溫度，并且流體的熱能也會發(fā)生變化。然而，對于低流速的流動，轉(zhuǎn)化為熱量的能量很小，可以忽略不計。隨著流速的增加，摩擦產(chǎn)生的熱量和沖擊波產(chǎn)生的熱量產(chǎn)生，增加了熱能的作用。摩擦是由流體的粘性引起的，但由于伯努利定理適用于非粘性流體，我們可以假設熱能不變。（理想流體）

三、什么是伯努利定理

 

伯努利定理由以下等式表示：

ρu ² /2 + ρgh + p =（常數(shù)）

正如我之前所說，伯努利定理假設熱能不變，認為是理想流體，也不考慮動能轉(zhuǎn)化為熱能。此外，盡管真實流體具有粘性并產(chǎn)生摩擦阻力和渦流，但使用伯努利定理時是假設沒有粘性。

伯努利定理的應用條件：（很多人忽視這個條件造成應用錯誤）

• 沒有密度變化（在流體為氣體適用于馬赫數(shù)(Ma)<0.3）

• 穩(wěn)定流（狀態(tài)不隨時間變化的流）

• 沿流線流動

• 熱能沒有變化

• 無摩擦損失

• 無粘性損失

下面介紹一種具體的伯努利定理的使用方法，比如求兩點之間的壓力差，

ρu ₁ ² /2 + ρgh ₁ + p ₁ = ρu ₂ ² /2 + ρgh ₂ + p ₂

p1 _- p2 = (ρu ₂ ² /2+ ρgh2 ₎ – (ρu ₁ ² /2  ₊  ρgh ₁)

 

四、什么是壓頭

水頭是流體的能量，以水位高度 (m) 為單位表示，也成稱之為壓頭。動能用速度水頭 V表示，勢能用勢頭 H 表示，壓力能用壓力水頭 P表示，總和稱為總水頭 E，以下能量守恒定律從伯努利定理成立。

E = V + H + P

注意：即伯努利定理僅在沒有因粘性、熱或摩擦引起的損失時才適用，但如果將這些能量損失表示為損失水頭 L，以下守恒定律成立。

E = V + H + P + L

對于水頭損失 L，必須提前從過去的文獻和實驗中獲得產(chǎn)生的能量損失。

例如，Brazius 公式和Niclase 公式表達了流體粘度、流速和水頭損失之間的相關性，因此可以使用它們。

五、伯努利定理的兩個應用

 

下面是伯努利定理的兩個應用。

文丘里管是一種流量測量儀器，它通過使流體流過截面積發(fā)生變化的管子并測量兩點之間的壓力來確定流量和流速。

從連續(xù)性方程看，流速隨著管道截面積的變化而變化。具體來說，管子粗的地方流速慢，管子細的地方流速快。因此，通過測量截面積不同的兩個位置的壓力，可以根據(jù)伯努利定理得出流速。

 

Q = u ₁ A ₁ = u ₂ A ₂　… ① 連續(xù)性方程

至于測量文丘里管內(nèi)壓力的方法，是在截面積不同的兩個點上安裝一個 U 型管壓力表。密度為 ρ' 的流體置于 U 型管中，根據(jù)兩點之間的壓力差產(chǎn)生高度差，因此可以測量壓力差。

 

具體計算方法如下：首先，在文丘里管的橫截面積不同的點 1 和點 2 處應用伯努利定理。

由于流動是水平的，所以位置揚程H=0，隨著流速和壓力的變化，速度水頭V和壓力水頭P發(fā)生變化。

u ₁ ² /2g + p ₁ /ρg = u ₂ ² /2g + p ₂ /ρg 

・・・② 流管中的伯努利方程

接下來，將伯努利定理應用于 U 型管中的流體，由于流體是靜止的，當速度水頭為 V=0 且高度差為 h 時，下式成立。

p1/ρvg = h +p ₂ /ρ'g ・・・③ U型管中的伯努利方程

由式①②③可以得到流體流過文丘里管的速度和流量。

順便說一下，U 型管中可以放入的液體因流速測量范圍而異。隨著壓力差的增加，U 形管變長，因此通常使用高密度水銀。

皮托管是一種測量流速的測量儀器，它通過將一根玻璃管垂直連接到水平管上的一點，并將另一根玻璃管平行于流體流動。在兩點之間應用伯努利定理給出流速。

 

u₂/2g + p₁/ρg = p₂/ρg  

在點 2，流動在玻璃管的尖端被阻塞。因此，速度能轉(zhuǎn)化為壓力能，玻璃管內(nèi)的水位上升到h2。另一方面，在點 1 處，管內(nèi)的靜壓 p1 使水流入玻璃管，使水位升高到 h1。

因此，通過求出兩點之間的壓力差p ₂ -p _{1 ，就可以求出管道中的流速u。}

p₂-p₁ = ρg(h₂-h₁) 

u = √｛2g(h₂-h₁)｝